素数是什么意思?

素数是什么意思?

素数是什么意思?质数(Prime number),又称素数,指在大于1的自然数中,除了1和该数自身外,无法被其他自然数整除的数(也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数)。大于1的自然数若不是素数,则称之为合数(也称为合成数)。例如,5是个素数,因为其正约数只有1与5。而6则是个合数,因为除了1与6外,2与3也是其正约数。算术基本定理确立了素数于数论里的核心地位:任何大于1的整数均可被表示成一串唯一素数之乘积。为了确保该定理的唯一性,1被定义为不是素数,因为在因式分解中可以有任意多个1(如3、1×3、1×1×3等都是3的有效约数分解)。

古希腊数学家欧几里得于公元前300年前后证明有无限多个素数存在(欧几里得定理)。现时人们已发现多种验证素数的方法。其中试除法比较简单,但需时较长:设被测试的自然数为n,使用此方法者需逐一测试2与√n 之间的整数,确保它们无一能整除n。对于较大或一些具特别形式(如梅森数)的自然数,人们通常使用较有效率的算法测试其是否为素数(例如277232917-1是直至2018年8月为止已知最大的梅森素数,也是直至2018年8月为止已知最大的素数)。虽然人们仍未发现可以完全区别素数与合数的公式,但已建构了素数的分布模式(亦即素数在大数时的统计模式)。19世纪晚期得到证明的素数定理指出:一个任意自然数n为素数的概率反比于其数位(或n的对数)。

许多有关素数的问题依然未解,如哥德巴赫猜想(每个大于2的偶数可表示成两个素数之和)及孪生素数猜想(存在无穷多对相差2的素数)。这些问题促进了数论各个分支的发展,主要在于数字的解析或代数方面。素数被用于资讯科技里的几个程序中,如公钥加密利用了难以将大数分解成其素因数之类的性质。素数亦在其他数学领域里形成了各种广义化的素数概念,主要出现在代数里,如素元及素理想。